Akademik Veri Yönetim Sistemi
DOĞA BİLİMLERİ VE MATEMATİKTE ÖNCÜ VE YENİLİKÇİ ÇALIŞMALAR, Doç. Dr. ALİ ÖZDEMİR, Editör, All Sciences Academy, Konya, ss.5-16, 2025
Doğa olaylarını ve teknolojideki bazı problemleri tanımlayan denklemler, integral ve türev içeren terimlere sahiptir. Bu tarz denklemler literatürde integro diferansiyel denklem olarak adlandırılır. Bu tarz denklemlere elastisite, biyomekanik, elektromanyetik, ısı transferi vb. konulardaki çalışmalarda kurulan matematiksel modellerde rastlanır. Her ne kadar bu denklemlerin çözümlerinin kararlılığı ve niteliksel davranışı üzerine bir çok çalışma mevcut olsa da analitik çözüm elde edilmesindeki sınırlamalar veya güçlükler sayısal yöntemlere olan ihtiyacı arttırmaktadır. Bu bağlamda Runge-Kutta, varyasyonel iterasyon vb. yöntemler çözüm bulunmada kullanılmaktadır.
Galerkin yönteminde ilk adımda incelenen probleme bir yaklaşık çözüm önerilir. Bu çözüm denkleme yazılarak kalan elde edilir. Bu kalanın yaklaşık çözümün katsayılarına göre olan türevlerden yararlanılarak elde edilen ve ağırlık fonksiyonu olarak adlandırılan fonksiyonlarla çarpılarak sınırlarda integrasyonu, yöntemin ikinci adımıdır. Son olarak kurulan denklem sisteminin çözümü ile yaklaşık çözüm katsayıları bulunarak problemin çözümü bitirilir. Bu yöntemde her ne kadar integrasyon işlemi var olsa bile çözüm için polinom önerilmesi kolaylıkla hesaplama yapılmasını sağlamaktadır.
Çalışmada öncelikle ağırlıklı kalanlar yöntemlerinden Galerkin tanıtılmıştır. Göz önüne alınarak problemler incelendiğinde yöntemin uygun çözüm bulmada ve nokta bazında en küçük mutlak hataları elde etmede etkili olduğu gösterilebilmiştir. Ayrıca yaklaşık çözümde basit polinomlar kullanmak yöntemin önemli avantajlarındandır. Bu polinomlardaki derece artışıyla beraber nokta bazındaki mutlak hataları daha da küçültebilmek mümkün olmuştur. Yöntem ilerleyen çalışmalarda kesir türevli, integral veya çeşitli türdeki denklemlere yaklaşık çözüm bulmak için kullanılabilir.