Akademik Veri Yönetim Sistemi
7. ULUSLARARASI ERCİYES BİLİMSEL ARAŞTIRMALAR KONGRESİ, Kayseri, Türkiye, 9 - 10 Mart 2022, cilt.1, ss.388-396, (Tam Metin Bildiri)
Mühendislik ve
uygulamalı bilim dallarındaki bazı problemler veya çözümleri integral işareti
altındaki denklemlerle ifade edilirler. Bu denklemler integral denklem olarak
adlandırılır. Diferansiyel denklemlerle İntegral denklemler yakın ilişkilidir.
Bu yüzden çözümü zor olan diferansiyel denklemleri integral denkleme çevrilerek
çözmek mümkün olur. Bazı sınır değer problemlerinin yaklaşık çözümlerini bulmak
amacıyla uygulanan yöntemlerde İntegral denklemlerden faydalanılır. İncelenen
integral denklemin türüne göre farklı analitik çözümler geliştirilmiştir. Bazı
durumlarda problemden kaynaklı olarak integral denklemin çözümünün bilinen
elemanter fonksiyonlarla gösterilmesi mümkün olmaz. Bu yüzden sayısal çözüm
yöntemleri dinamik, elastisite, akışkanlar mekaniği vb. alanlardaki
problemlerde kullanılırlar.
Bu çalışmada Lineer
Volterra ve Fredholm integral denklemlerinin bazı türleri için bir yaklaşık
çözüm yöntemi sunulmuştur. Kollokasyon yöntemiyle incelenen lineer problemlere
polinom temelli yaklaşık çözümler bulunmuştur. Yöntem Analitik çözüm veya diğer
yaklaşık çözümlerdeki gibi uzun ve karmaşık işlem adımlarına gerek
duymamaktadır. Problem bağımsız değişkenin sınırları içerisinde keyfi alınan
noktaların sayısı kadar denkleme sahip bir sisteme indirgenerek çözülmektedir. Bulunan
bu yaklaşık çözümdeki katsayılar denklem sisteminin çözümünden gelmektedir.
Seçilen polinomun derecesi arttırılırsa denklem sisteminin boyutu artmaktadır.
Bu yöntem sayesinde
literatürden seçilen örneklerin yaklaşık çözümünde yapılan noktasal mutlak hata
çok küçük olmaktadır. Kollokasyon yönteminde kullanılan polinomun derecesinin
artışıyla beraber yaklaşık çözümde bu hata istenilen kadar azaltılabilmektedir.
Kollokasyon yöntemi araştırmacılara basit programlama algoritmalarıyla İntegral
veya İntegro diferansiyel denklemlerin
yaklaşık çözümlerini bulma şansı vermektedir.
In
engineering and applied sciences, some problems or solutions are expressed with
equations under the integral sign. These equations are called integral
equations. Integral equations are closely related to differential equations.
Therefore, it is possible to solve differential equations, which are difficult
to solve, by converting them into integral equations. Integral equations are
used in the methods applied to find approximate solutions of some boundary
value problems. Different analytical solutions have been developed according to
the type of integral equation studied. In some cases, due to the problem, it is
not possible to show the solution of the integral equation with known
elementary functions. So numerical solution methods are used in dynamics,
elasticity, fluid mechanics, etc. used in field problems.
In this study, an
approximate solution method is presented for some types of linear Volterra and
Fredholm integral equations. Polynomial-based approximate solutions have been
found for linear problems analyzed by the collocation method. The method does
not require long and complex processing steps as in analytical solutions or
other approximate solutions. The problem is solved by reducing it to a system
that has as many equations as the number of arbitrary points within the
boundaries of the independent variable. The coefficients in this approximate
solution come from the solution of the system of equations. If the degree of
the chosen polynomial is increased, the size of the equation system increases.
Thanks to this
method, the point absolute error in the approximate solution of the examples
chosen from the literature is very small. With the increase of the degree of
the polynomial used in the collocation method, this error in the approximate solution
can be reduced as much as desired. The collocation method gives researchers the
chance to find approximate solutions of integral or integral differential
equations with simple programming algorithms.