Akademik Veri Yönetim Sistemi
IV. BİLSEL ULUSLARARASI TRUVA BİLİMSEL ARAŞTIRMALAR VE İNOVASYON KONGRESİ, Çanakkale, Türkiye, 17 - 18 Ağustos 2024, ss.42-51, (Tam Metin Bildiri)
Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında oluşturulan
matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklem şeklinde verilirler.
Bu denklemlerdeki, fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal değerleri,
bunların türevleri ise bu değerlerin değişim hızlarını ifade eder. Bazı
durumlarda incelenen probleme bağlı olarak diferansiyel denklemin çözümü bilinen
fonksiyonlar cinsinden ifade edilemeyebilir. Çözümü var olan denklemler için
ise çözüm daha sonra yapılacak olan hesaplamalar için kullanışlı olmayabilir.
Bazı tür diferansiyel denklemler için ise mevcut yöntemlerle çözüme ulaşmak
mümkün değildir. Özellikle lineer olmayan denklemlerde ya çözümü bulmak için
fazla bir hesaplama yapılması gerekir ya da bunlar için bilinen yöntemler
yetersiz kalır. Bu yüzden sayısal analizdeki yaklaşık çözüm yöntemleriyle
lineer olmayan bir diferansiyel denkleme çözüm aramak önemlidir.
Çalışmada lineer olmayan diferansiyel denklemlere yaklaşık çözümler
bulabilmek için Galerkin yöntemi kullanılmıştır. Ağırlıklı kalanlar
yöntemlerinden birisi olan Galerkin yöntemi yaklaşık çözüm için problemin
sınırları içerisinde bir integral işlemini kullanır. Bu işlem sayesinde
problemin çözümü amacıyla kurulan denklem sistemi ise bilinen yöntemlerle
hesaplanır ve ardından yaklaşık çözüm bulunur. Yöntemin lineer olmayan
problemlere uygulanması sonucunda bulunan ve yaklaşık çözümde kullanılacak olan
katsayıların seçiminin nasıl yapılacağı, deneme fonksiyonun derece artışının
mutlak hataya olan etkisi çalışmada incelenmiştir. Literatürden seçilen
problemlere Galerkin yöntemiyle yeterli hassasiyette yaklaşık çözümler
bulunmuştur.
Mathematical models created in the fields of
physics, chemistry, engineering, biology and economics are usually given in the
form of differential equations. In these equations, the functions usually
represent physical or financial values, and their derivatives represent the
rates of change of these values. Sometimes, depending on the problem being
examined, the solution of the differential equation may not be expressed in
terms of known functions. It is not always the case that a solution of an
equation will prove useful in subsequent calculations. For some types of
differential equations, it is not possible to reach a solution with existing
methods. Especially for nonlinear equations, either a lot of calculations need
to be made to find the solution or known methods are insufficient for them. Therefore,
it is important to seek a solution to a nonlinear differential equation with
approximate solution methods in numerical analysis.
In the study, the Galerkin method was employed
for find approximate solutions to nonlinear differential equations. The
Galerkin method, which belongs to the class of weighted residual methods,
employs an integral operation within the boundaries of the problem in order to
obtain an approximate solution. Thanks to this process, the equation system
established for the purpose of solving the problem is calculated with known
methods and then an approximate solution is found. How to choose the
coefficients that will be used in the approximate solution and found as a
result of the application of the method to nonlinear problems, and the effect
of the degree increase of the trial function on the absolute error are examined
in the study. Approximate solutions with sufficient precision were found for
the problems selected from the literature with the Galerkin method.