Sınır Değer Problemlerinin Kollokasyon Çözümleri

Creative Commons License

Durak B.

5th International Conference on Engineering and Applied Natural Sciences, Konya, Türkiye, 25 - 26 Ağustos 2024, ss.532-538, (Tam Metin Bildiri)

  • Yayın Türü: Bildiri / Tam Metin Bildiri
  • Basıldığı Şehir: Konya
  • Basıldığı Ülke: Türkiye
  • Sayfa Sayıları: ss.532-538
  • Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
  • İstanbul Üniversitesi-Cerrahpaşa Adresli: Evet

Özet

Sınır değer problemleri mühendislik, fizik, matematikte oldukça sık karşılaşılan ve sınır koşulları ile verilen diferansiyel denklemlerdir. Problemleri tanımlayan diferansiyel denklemlerin bulunan genel çözümlerine sınır şartları uygulanarak özel çözümlere ulaşılır. Elektriksel potansiyelin bulunması, titreşen sistemin normal modlarının hesaplanması, bir çubuktaki ısı dağılımının elde edilebilmesi için bu problemlerin sınır değerleri altında çözülmesi gerekir. Her ne kadar diferansiyel denklemler teorisinde çözümü elde etmek için sabit katsayılı olanlara uygulanabilecek çeşitli yöntemler varsa da değişken katsayılı denklemler için uygulanabilecek yöntemler sınırlıdır. Çalışmada iki ve daha yüksek mertebeden, sabit veya değişken katsayılı sınır değer problemlerinin yaklaşık çözümleri kollokasyon yöntemiyle yeterli hassasiyette bulunmuştur. Kollokasyon, Ağırlıklı kalanlar yönteminde ağırlık fonksiyonu olarak dirac delta fonksiyonun kullanıldığı bir yöntemdir.  Göz önüne alınan problemlere polinom şeklinde yaklaşık çözümler önerilmiştir. İntegral işareti altında dirac delta fonksiyonun özelliği sonucunda incelenen problem bir cebrik denklem sistemine dönüştürülerek çözülmüştür. Yöntemde kullanılan, deneme (test) fonksiyonlarındaki derece artışı beraberinde yaklaşık çözümde mutlak hata azalmasına getirmektedir. Değişken katsayılı diferansiyel denklemlere uygulanan sabit katsayılı hale getirme veya bunların seri çözüm önerilerindeki tekrarlama bağıntılarını bulma gibi zorlu bazen de karmaşık olabilen işlem adımlarına kollokasyon yönteminde ihtiyaç duyulmamaktadır. Kollokasyonun lineer olmayan diferansiyel denklemlere uygulanması sırasında önerilmiş olan yaklaşık çözümün katsayıları sanal ve/veya reel ama birden fazla olabilmektedir. Bu durumda bulunan katsayılardan en küçük reel olanlarını seçmenin araştırmacılara uygun yaklaşık çözümü vereceği belirlenmiştir. Çalışmada kollokasyon yönteminin bir sınır değer probleminin türünden bağımsız olarak ona uygulanabilecek etkili bir yaklaşık çözüm yöntemi olduğu gösterilebilmiştir.