Akademik Veri Yönetim Sistemi
Hagia Sophia 3. International Conference On Multidısciplinary Scientific Studies, İstanbul, Türkiye, 15 - 16 Eylül 2021, ss.754-766, (Tam Metin Bildiri)
Doğadaki herhangi fiziksel bir durum diferansiyel denklemler sayesinde matematiksel olarak
modellenebilir. Bu tanımlanan modelin çözümü incelenen olayın sonraki davranışı hakkında
daha fazla bilgi elde edilmesini sağlar. Diferansiyel denklem teorisi çeşitli bilim insanlarının
katkılarıyla oldukça fazla çözüm tekniğine sahiptir. Ancak bazı problemlerde analitik çözümü
bulmak ya çok zordur ya da fazla zaman almaktadır. Bu yüzden çoğu araştırmacı
problemlerinin sayısal çözümlerini tercih eder.
Bu çalışma kollokasyon yönteminin bazı sınır değer ve başlangıç değer problemlerine
uygulanabilirliğini göstererek sayısal çözüm araçlarına katkı sunmayı hedeflemiştir.
Çalışmada kollokasyon yönteminin matematiksel arka planı hakkında bilgi verilerek, doğrusal
ve doğrusal olmayan denklemlerin çözümlerinin nasıl elde edilebileceği gösterilmiştir.
Yöntemde kullanılan deneme fonksiyonlarının sadece problemin şartlarını sağlaması
gerekmektedir. Yaklaşık çözümün katsayılarını veren denklemler problemin şartlarından ve
bu çözümün diferansiyel denkleme yazılmasıyla meydana gelen kalanın keyfi noktalardaki
değerlerinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan denklemlerdir.
Diferansiyel denklemi bir denklem sistemine indirgeyerek çözmek kollokasyon yönteminin
önemli bir avantajıdır. Bazı yarı analitik çözümlerde olduğu gibi dönüşüm uygulama
zorunluluğu yoktur.
Çeşitli yayınlardan alınan örneklerin kollokasyon çözümleri göstermektedir ki bu yöntemle
basit işlemlerle ve belirli hata payında çözümler elde etmek mümkündür. Deneme
fonksiyonun polinom seçilmesi durumunda, yaklaşık çözümdeki mutlak hata değerini
azaltmak için polinomun derecesi arttırılmalıdır. Doğrusal denklemlerde yaklaşık çözümün
katsayıları tek ve reel sayı olmasına rağmen doğrusal olmayan denklemlerde aynı katsayılar
birden fazla gerçek veya sanal sayı değeri almaktadır.
Kollokasyon yöntemi, ilerleyen çalışmalarda yüksek mertebeden diferansiyel denklemlerin
yaklaşık çözümlerini bulmakta kullanılabilir. Bu yöntem ve simgesel hesap yazılımları
integral veya integrodiferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerinin daha basit işlem
adımlarıyla bulunabilmesini sağlayacaktır.