Akademik Veri Yönetim Sistemi
DOĞA BİLİMLERİ VE MATEMATİKTE ÖNCÜ VE YENİLİKÇİ ÇALIŞMALAR, Doç. Dr. Ali ÖZDEMİR, Editör, All Sciences Academy, Konya, ss.35-45, 2024
Mühendislik ve doğa bilimlerindeki kaotik süreçler ve bazı problemler lineer olmayan diferansiyel denklemlerle ifade edilirler. Her ne kadar bazı değişken değiştirmeler veya çeşitli kabuller sayesinde nonlineer denklemler lineer hale getirilerek çözülebilse de bu tekniklerin her tür probleme uygulanmasında önemli sorunlarla karşılaşılabilir. Bu noktada sayısal yöntemlerle çözümler bulmak gerekecektir.
Bu çalışmada lineer olmayan başlangıç ve sınır değer problemlerinin yaklaşık çözümleri ağırlıklı kalanlar yöntemlerinden birisi olan subdomain (alt bölge) yöntemiyle bulunmuştur. Test problemlerinde verilmiş olan diferansiyel denklemler homojen ve lineer olmayan bir denklem sistemine dönüştürülmüş ve ardından bu sistemin çözümü ile yaklaşık çözüm katsayılarının hesaplanmıştır.
İncelenen test problemlerine göre alt bölge yöntemiyle bulunan çözümlerde nokta bazında yapılan mutlak hatalar yeterince küçük olmaktadır. Alt bölge sayısının arttırılması bu hataları azaltmaktadır. Yöntem sayesinde bir problemin analitik çözümü bulunabilmiştir. Subdomain yönteminde kullanılan integraller simgesel matematik yazılımları ile hesaplanmıştır. Polinomları yaklaşık çözüm olarak seçmek bu yöntemde işlem kolaylığı sağlamaktadır. Bu sayede basit algoritmalar ile yaklaşık çözümler elde edilmiştir.
Problemlerin lineer olmaması yaklaşık çözüm katsayılarının değerlerinin birden fazla olması durumuna sebep olmaktadır. En küçük reel katsayılar kullanılarak oluşturulan yaklaşık çözümdeki mutlak hatalar daha azdır.
Lineer olmayan diferansiyel denklemi göz önüne alınan alt bölgelerde yararlanarak sadece önerilen yaklaşık çözümün katsayılara bağlı nonlineer bir denklem sistemine dönüştürerek çözmeye yarayan yöntem ile uygun çözümler elde edilebilmiştir. Subdomain (Alt bölge) yöntemi ilerleyen çalışmalarda kesir türevli lineer, nonlineer diferansiyel denklem ya da denklem sistemlerine uygulanabilir.
Chaotic processes and some problems in engineering and natural sciences are expressed by nonlinear differential equations. Although nonlinear equations can be solved by linearizing them with some variable changes or various assumptions, significant problems can be encountered in the application of these techniques to all types of problems. At this point, it will be necessary to find solutions with numerical methods. In this study, approximate solutions of nonlinear initial and boundary value problems were found with the subdomain method, which is one of the weighted remainder methods. The differential equations given in the test problems were transformed into a homogeneous and nonlinear equation system and then the approximate solution coefficients were calculated by solving this system.
According to the examined test problems, the absolute errors made on a point basis in the solutions found with the subdomain method are sufficiently small. Increasing the number of subdomains reduces these errors. Thanks to the method, an analytical solution of a problem could be found. The integrals used in the subdomain method were calculated with symbolic mathematics software.
Choosing polynomials as approximate solutions provides ease of operation in this method. In this way, approximate solutions were obtained with simple algorithms. The nonlinearity of the problems causes the approximate solution coefficients to have values greater than one. The absolute errors in the approximate solution created using the smallest real coefficients are less. Appropriate solutions were obtained with the method that is used to solve the nonlinear differential equation by converting only the proposed approximate solution into a nonlinear equation system dependent on the coefficients by using the subdomains considered. The subdomain method can be applied to fractional derivative linear, nonlinear differential equations or equation systems in future studies.