Akademik Veri Yönetim Sistemi
MÜHENDİSLİKTE ÖNCÜ VE AKADEMİK ÇALIŞMALAR, Dr. Öğr. Üyesi Umut ÖZKAYA, Editör, All Sciences Academy, Konya, ss.7-18, 2025
Mühendislik ve fen bilimlerindeki bazı süreçler ve problemler
nonlineer diferansiyel denklemlerle ifade edilirler. Nonlineer diferansiyel
denklemlerin kaotik davranışı ve başlangıç değerlerine bağlılığı genel
çözümlerini bulmayı zorlaştırır. Lineer denklemlerde kullanılan basit
çözümlerin üst üste toplanmasına izin veren süperpozisyon ilkesi bu
denklemler için kullanılamaz, diferansiyel denklem teorisindeki çözümün
varlığını ve tekliğini garantileyen teoremler bu diferansiyel denklemler için
kullanılamamaktadır. Fourier serisi, Laplace dönüşümü ve parametrelerin
değişimi vb. analitik yöntemler bu denklem grubunun çözümlerine uygulansa
bile çözüme ya ulaşılamaz ya da bulunan çözüm tek değildir. Bahsedilen bu
zorluklar yüzünden nonlineer denklem diferansiyel denklemlerin özelliklerini
ve davranışlarını incelemek amacıyla çeşitli sayısal yöntemlerden,
pertürbasyon tekniğinden, sayısal simülasyonlardan ve nitel analiz gibi özel
tekniklerden yararlanılır. Bu çalışmada ağırlıklı kalanlar yöntemlerinden birisi
olan momentler yöntemi nonlineer diferansiyel denklemlerin yaklaşık
çözümlerini bulmakta kullanılmıştır.
Bu yöntemde ilk adımda bir yaklaşık çözüm önerilir. Diferansiyel
denkleme yazılan bu çözüm ile kalan elde edilir. İkinci adımda bu kalan
ağırlık fonksiyonu adı verilen fonksiyonlarla çarpılarak, sınırlarda integre
edildikten sonra sıfıra eşitlenir. Bu sayede elde edilen nonlineer denklem
sisteminin çözümü incelenen problemin yaklaşık çözümünün katsayıları
vermektedir.
Kullanılan ağırlık fonksiyonlarının ve yaklaşık çözümün polinom
olarak alınması bu yöntemdeki integral hesabını kolaylıkla gerçekleştirmeye
imkan verir. Momentler yöntemiyle bir problem için analitik çözüm bulmakta
mümkündür. Yöntem sonucunda meydana gelen nonlineer denklem
sisteminin çözüm kümelerinin elemanları birden fazla reel ve/veya karmaşık
sayı ise bunlar arasında reel en küçük katsayıları içerenini seçmek göz önüne
alınan probleme en uygun yaklaşık çözümü vermektedir. Çeşitli mühendislik
problemlerinin yanı sıra integral, integro-diferansiyel vb. denklem veya
denklem sistemlerinin çözümlerini bulmakta momentler yöntemi
kullanılabilir.