Adi ve Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümlerinin Kollokasyon Yöntemiyle Bulunması

Creative Commons License

Durak B.

Gümüşhane Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, cilt.10, sa.4, ss.1136-1143, 2020 (TRDizin)

Özet

Mühendislik problemleri adi ve kısmi diferansiyel denklemler şeklinde matematiksel olarak ifade edilirler. Bu denklemlerin analitik çözümlerinin mümkün olmadığı durumlarda yaklaşık çözümler bulunmaya çalışılır. Çalışmada iki sınır değer probleminin yaklaşık çözümü kollokasyon metoduyla bulunmuştur. İlk problem homojen olmayan sınır şartlarına sahiptir. Problemin çözümde tanımlanan iki taban fonksiyonundan yararlanılmıştır. Aynı problem homojen olmayan sınır şartlarının homojenleştirilmesinin ardından iki kollokasyon noktası alınarak tekrar çözülmüştür. İkinci problem ise homojen olmayan sınır şartlarına sahip Laplace denklemidir. Her iki problemin analitik çözümleri ile kollokasyon metoduyla bulunan yaklaşık çözümleri karşılaştırılmıştır. Kollokasyon nokta sayısı arttıkça yaklaşık çözüm her iki problemde analitik çözüme yakınsamaktadır. Ayrıca çözümdeki katsayıları bulmak için oluşturulan sistemdeki denklem sayısının, kollokasyon nokta sayısıyla birlikte arttığı görülmüştür.

Engineering problems are often expressed mathematically as ordinary and partial differential equations. When analytical solution is not possible two base functions defined in solution of the problem were used. In this study, approximate solutions of two boundary value problem were found by collocation method. The first problem is that the selected two base functions are solved using nonhomogeneous boundary conditions. The same problem was resolved by homogenizing the nonhomogeneous boundary condition and taking two collocation points. The second problem is the Laplace equation with some nonhomogeneous boundary conditions. The analytical solution and collocation solution of this equation were compared. In both problems, as the number of collocation points increases, approximate solution approaches analytical solution. In addition, it was found that the number of equations in the system created to find the coefficients in the solution increased with the number of sorting points.